АНІМАЦІЇ
Фрактали
Правильні многогранники
Палітра ймовірностей
Математика схожа на мистецтво. І якщо відмінність думок, суджень і висновків про картину або роман - це річ природна, то в математиці, як правило, питання має єдино вірну відповідь, не залежну від почуття смаку, виховання або особистих переваг кожного з нас. Вибором і пошуком такої єдиної відповіді ми зараз і займемося.
Завдання. На полиці розставлені в один ряд 6 однакових баночок: 3 - з чорною фарбою і 3 - з червоною. Не дивлячись на наклейки, навмання знімають з полиці 3 баночки. Яка ймовірність, що ці баночки містять фарбу одного кольору?
Спроба розв'язання 1
Комплект з трьох баночок, знятих навмання з полиці, може містити:
Р (А) = 2/4 = 1/2.
Спроба розв'язання 2
Розсунемо баночки на полиці, не дивлячись на етикетки, - 3 наліво і 3 направо. При цьому могло так статися, що:
ліворуч виявилися 3 баночки одного кольору, справа - іншого - сприятливий випадок:
Р (А) = 1/3.
Спроба розв'язання 3
Повний набір равновозможных результатів можна скласти з наступних восьми комбінацій (у кожній 3 баночки):
Вийшло, що одна і та ж подія в умовах одного і того ж досліду має три різні міри ймовірності: 1/2, 1/3, 1/4.
Ось такий казус! Який же результат вірний?
Розслідування
Правильний результат не отриманий ні в одному з трьох попередніх рішень, хоча в міркуваннях все вірно, окрім визнання рівноімовірними результатів-комбінацій, що припустили, в кожному рішенні. У будь-якій спробі рішення слід було б враховувати кількість реально можливих комбінацій (з шести баночок по три).
Так, в спробі рішення 1 дійсно можливе лише одне формування трьох баночок, що веде до появи події
Остаточне число способів формування комплектів-результатів виду :
(Джерело: Б.А. Кордемский «Великие жизни в математике»)
Сузір'я простих чисел
Подібно до зірок на небозводі сяють в числовому космосі прості числа. Не одну тисячу років до них приковано увага математиків - їх знову і знову шукають, досліджують, знаходять їм застосування. Евклід і Ератосфен, Ейлер і Гаус, Рамануджан і Харді, Чебишев і Виноградов... Цей перелік видатних учених що займалися простими числами і завданнями з ними пов'язаними можна продовжувати і продовжувати.
Іноді цікаво розглянути сукупності з двох, трьох, чотирьох або простіших чисел. Саме про такі сукупності - сузір'я простих чисел - піде мова.
Прості числа-близнюки
Два прості числа, які відрізняються на 2, як
5 і 7,
11 і 13,
17 і 19,
дістали образну назву близнюки (ці числа називають ще парними простими числами). Цікаво, що в натуральному ряду є навіть трійня простих чисел - це числа 3, 5, 7.
Ну а скільки всього існує близнюків - сучасній математиці невідомо.
Числа-близнюки із заданої таблиці чисел можна просіювати, злегка підправивши решето Ератосфена. Якщо для кожного викресленого способом Ератосфена числа n викреслити так само число n-2, то в таблиці залишаться лише такі числа р, для яких число р+2 теж просте. В межах першої сотні близнюки - це наступні пари чисел :
3 і 5,
5 і 7,
11 і 13,
17 і 19,
29 і 31,
41 і 43,
59 і 61,
71 і 73.
Ось лише деякі властивості цих чисел, яких лежать на самій поверхні океану простих чисел :
- усі пари простих близнюків, окрім 3 і 5, мають вигляд 6n ± 1;
при діленні на 30 усіх пар близнюків, окрім перших двох, дають наступні пари лишків:
11 і 13,
17 і 19,
29 і 1;
- у міру віддалення від нуля близнюків стає усе менше і менше. Так, в межах першої сотні натуральних чисел існують вісім пар близнюків, а в межах п'яти сотень з 9501 по 10000 - шість.
Передбачається, що пар простих чисел-близнюків нескінченно багато, але це не доведено. Дослідження, що проводяться в "глибокому числовому космосі", продовжують виявляти ці чудові і загадкові пари. На даний момент рекордсменами вважаються близнюки
3756801695685 · 2666669 ± 1,
які були виявлені 24 грудня 2011 року у рамках реалізації проекту PrimeGrid. Для запису кожного з цих чисел знадобитися 200700 цифр.
Немає коментарів:
Дописати коментар